Question

【題目】如圖，正四棱錐中， 是正方形， 是正方形的中心， 底面， 是的中點．

(I)證明： 平面；

(II)證明：平面平面；

(III)已知： ，求點到面的距離．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)1.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)連結EO，由三角形中位線的性質可知OE∥AP，利用線面平行的判定定理可得PA∥平面BDE.

(Ⅱ)利用線面垂直的判定定理可得POBD，利用正方形的性質可得ACBD，結合線面垂直的判定定理可得BD平面PAC，則平面PAC平面BDE.

(Ⅲ)設點C到面BDE的距離為,由三棱錐的性質可得，結合棱錐的體積公式可得關于高的方程，解方程可得點C到面BDE的距離為1.

試題解析：

（I）連結EO，在△BDE中∵O是AC的中點，E是PC的中點，

∴OE∥AP，又∵OE平面BDE，PA平面BDE，

∴PA∥平面BDE.

（II）∵PO底面ABCD，BD面ABCD,

∴POBD，

又∵ABCD是正方形， ∴ACBD， 且ACPO=O

∴BD平面PAC，

而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE.

（III）設點C到面BDE的距離為,

由已知得

正四棱錐P-ABCD中，AB=PA=2 ,由題意得，PO=,EO= =1,

∴，

∴=1，即點C到面BDE的距離為1