Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為PA的中點．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）在側棱PC上是否存在一點M，滿足PC⊥平面MBD，若存在，求PM的長；若不存在，說明理由．
（3）求三棱錐C-PAD的體積V_C-PAD．

Answer 1

分析 （1）設AC、BD相交于點F，連結EF，推導出EF∥PC，由此能證明PC∥平面EBD．
（2）推導出PA⊥BD，AC⊥BD，從而BD⊥平面PAC，進而BD⊥PC，在平面PBC內，作BM⊥PC，垂足為M，求出PM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜2$\sqrt{2}$，連結MD，求出滿足條件的點M存在，并能求出PM的長．
（3）三棱錐C-PAD的體積V_C-PAD=V_P-ACD，由此能出結果．

解答 證明：（1）設AC、BD相交于點F，連結EF，
∵底面ABCD為菱形，∴F為AC的中點，
又∵E為PA的中點，∴EF∥PC，
又∵EF?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
解：（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
又∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD，PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，
在△PBC內，由題意得PB=PC=2$\sqrt{2}$，BC=2，
在平面PBC內，作BM⊥PC，垂足為M，設PM=x，
則有8-x²=4-（2$\sqrt{2}$-x）²，解得x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜2$\sqrt{2}$，
連結MD，∵PC⊥BD，BM⊥PC，BM∩BD=B，BM?平面BDM，BD?平面BDM，
∴PC⊥平面BDM，∴滿足條件的點M存在，此時PM的長為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（3）∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，∴△ACD是邊長為2的正三角形，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA為三棱錐P-ACD的高，
∴三棱錐C-PAD的體積V_C-PAD=V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PA=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷及線段長的求法，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．