Question

（本小題滿分14分）
已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
（ⅰ）證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（I）.（II）（�。┲本�AE過定點(diǎn).（ⅱ）的面積的最小值為16.

解析試題分析：（I）由拋物線的定義知，
解得或（舍去）.得.拋物線C的方程為.
（II）（�。┯桑↖）知，
設(shè)，
可得，即，直線AB的斜率為，
根據(jù)直線和直線AB平行，可設(shè)直線的方程為，
代入拋物線方程得，
整理可得，
直線AE恒過點(diǎn).
注意當(dāng)時(shí)，直線AE的方程為，過點(diǎn)，
得到結(jié)論：直線AE過定點(diǎn).
（ⅱ）由（�。┲�，直線AE過焦點(diǎn)，
得到，
設(shè)直線AE的方程為，
根據(jù)點(diǎn)在直線AE上，
得到，再設(shè)，直線AB的方程為，
可得，
代入拋物線方程得，
可求得，，
應(yīng)用點(diǎn)B到直線AE的距離為.
從而得到三角形面積表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式得到其最小值.
試題解析：（I）由題意知
設(shè)，則FD的中點(diǎn)為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/7/i2phi1.png" style="vertical-align:middle;" />，
由拋物線的定義知：，
解得或（舍去）.
由，解得.
所以拋物線C的方程為.
（II）（�。┯桑↖）知，
設(shè)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/7/i2phi1.png" style="vertical-align:middle;" />，則，
由得，故，
故直線AB的斜率為，
因?yàn)橹本�和直線AB平行，
設(shè)直線的方程為，
代入拋物線方程得，
由題意，得.
設(shè)，則，.
當(dāng)時(shí)，，
可得直線AE的方程為，
由，
整理可得，
直線AE恒過點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，直線AE的方程為，過點(diǎn)，
所以直線AE過