Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+2a，g（x）=（2-a）x，其中a∈R．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（2）求關(guān)于x的不等式f（x）＞g（x）的解集；
（3）若f（x）-g（x）＞-4對任意的x∈[3，6]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由偶函數(shù)的定義，可得a的值．
（2）將不等式轉(zhuǎn)化，因式分解，分類討論，得到解集．
（3）分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為恒等式，由基本不等式可以得到取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴a=0．
（2）不等式f（x）＞g（x），
整理得：x²-（2+a）x+2a＞0，
（x-a）（x-2）＞0，
①a＜2時，不等式的解集是{x|x＜a或x＞2}，
②a=2時，不等式的解集是{x|x≠2}，
③a＞2時，不等式的解集是{x|x＞a或x＜2}，
（3）f（x）-g（x）＞-4對任意的x∈[3，6]恒成立，
即x²-（2+a）x+2a＞-4，
分離參數(shù)得a＜x-2+$\frac{4}{x-2}$+2，
由函數(shù)的單調(diào)性得y=x-2+$\frac{4}{x-2}$+2在區(qū)間[3，4]是單調(diào)遞減，在[4，6]上單調(diào)遞增的，
∴a＜y_min．即a＜6．

點評 本題考查偶函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化思想，因式分解，分類討論，分離參數(shù)，以及基本不等式．