Question

盒子中裝有大小相同的2只紅球，4只黑球，n（n≥3）只白球．規(guī)定：一次摸出3只球，如果這3只球是同色的，就獎(jiǎng)勵(lì)10元，否則罰款2元．某人摸一次球，他獲獎(jiǎng)勵(lì)10元的概率為p．
（1）當(dāng)n=4時(shí)，
（i）若某人摸一次球，求他獲獎(jiǎng)勵(lì)10元的概率；
（ii）若有10人參加摸球游戲，每人摸一次，摸后放回，記隨機(jī)變量ξ為獲獎(jiǎng)勵(lì)的人數(shù)．求P（ξ＞1），和這10人所得總錢(qián)數(shù)的期望．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示，參考數(shù)據(jù)：(

14

15

)10≈

1

2

）
（2）記某人三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)10元的概率為f（p），問(wèn)當(dāng)n為何值時(shí)，f（p）取得最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）（i）某人摸一次球，利用古典概型概率計(jì)算公式能求出他獲獎(jiǎng)勵(lì)10元的概率．
（ii）由題意知ξ～B（10，

1

15

），由此能求出P（ξ＞1）和這10人所得總錢(qián)數(shù)的期望．
（2）三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)10元的概率為f(p)=

C

1 3

p(1-p)2=3p3-6p2+3p，0＜p＜1，由此能求出當(dāng)n=14時(shí)，f（p）取最大值．

解答： （本小題滿(mǎn)分14分）
解：（1）（i）某人摸一次球，他獲獎(jiǎng)勵(lì)10元的概率：
p=

2 C 3 4

C 2 10

=

1

15

．
（ii）由題意知ξ～B（10，

1

15

），
則P（ξ＞1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）
=1-（

14

15

）¹⁰-

C

1 10

×

1

15

×(

14

15

)9
=

1

7

．
設(shè)η為在一局中的輸贏(yíng)，則Eη=

1

15

×10-

14

15

×2=-

6

5

，
∴E（10η）=10Eη=10×（-

6

5

）=-12．
（2）摸一次球中獎(jiǎng)10元的概率為p=

C 3 4 + C 3 n

C 3 n+6

（n≥3）
三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)10元的概率為：
f(p)=

C

1 3

p(1-p)2=3p3-6p2+3p，0＜p＜1，
f'（p）=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），0＜p＜1
∴f（p）在(0，

1

3

)是增函數(shù)，在(

1

3

，1)是減函數(shù)，
將n=3，4，5…分別代入p=

C 3 4 + C 3 n

C 3 n+6

知：
當(dāng)3≤n≤13時(shí)，p的值遞增，
且當(dāng)n=13時(shí)，p=

C 3 4 + C 3 13

C 3 19

=0.299，
f(0.299)=

C

1 3

0.299×(1-0.299)2=0.441
當(dāng)n=14時(shí)，p=

C 3 4 + C 3 14

C 3 20

=0.323，
f(0.323)=

C

1 3

0.323×(1-0.323)2=0.444
所以當(dāng)n=14時(shí)，f（p）取最大值．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．