17.已知函數(shù)f(x)=αx-lnx(α∈R).
(I)α=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)的圖象恒在x軸上方.求α的取值范圍;
(Ⅲ)證明:20152016>20162015

分析 (I)先求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),然后利用導(dǎo)函數(shù)的正負求x的范圍即可;
(Ⅱ)α>0,f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,$\frac{1}{α}$),單調(diào)增區(qū)間是($\frac{1}{α}$,+∞),f(x)min=f($\frac{1}{α}$)=1+lnα>0,即可求α的取值范圍;
(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=$\frac{lnx}{x}$,則g′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,g(x)的單調(diào)減區(qū)間是(e,+∞),即可證明:20152016>20162015

解答 (I)解:α=1時,∵f(x)=x-lnx,∴f'(x)=$\frac{x-1}{x}$
令f'(x)<0,則0<x<1,f'(x)>0,x>1
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1),單調(diào)增區(qū)間是(1,+∞);
(Ⅱ)解:f'(x)=$\frac{αx-1}{x}$,
α≤0,f'(x)<0,f(x)的圖象不恒在x軸上方;
α>0,f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,$\frac{1}{α}$),單調(diào)增區(qū)間是($\frac{1}{α}$,+∞),∴f(x)min=f($\frac{1}{α}$)=1+lnα>0
∴α>$\frac{1}{e}$,
∴α>$\frac{1}{e}$時,f(x)的圖象恒在x軸上方;
(Ⅲ)證明:構(gòu)造函數(shù)g(x)=$\frac{lnx}{x}$,則g′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間是(e,+∞)
∴$\frac{ln2015}{2015}>\frac{ln2016}{2016}$
∴20152016>20162015

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最小值,正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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