Question

6．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，它的一個頂點恰好在拋物線x²=8y的準線上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點P（2，$\sqrt{3}$），Q（2，-$\sqrt{3}$）在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側的動點．當A，B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由橢圓的一個頂點恰好在拋物線x²=8y的準線y=-2上，可得-b=-2，解得b．又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠APQ=∠BPQ，則PA，PB的斜率互為相互數(shù)，可設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，直線PA的方程為：$y-\sqrt{3}$=k（x-2），與橢圓的方程聯(lián)立化為$（1+4{k}^{2}）{x}^{2}+8k（\sqrt{3}-2k）x$+4$（\sqrt{3}-2k）^{2}$-16=0，利用根與系數(shù)的關系、斜率計算公式即可得出．

解答 解：（1）設橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵橢圓的一個頂點恰好在拋物線x²=8y的準線y=-2上，
∴-b=-2，解得b=2．
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
∴a=4，$c=2\sqrt{3}$，
可得橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵∠APQ=∠BPQ，則PA，PB的斜率互為相互數(shù)，
可設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，
直線PA的方程為：$y-\sqrt{3}$=k（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，
化為$（1+4{k}^{2}）{x}^{2}+8k（\sqrt{3}-2k）x$+4$（\sqrt{3}-2k）^{2}$-16=0，
∴x₁+2=$\frac{8k（2k-\sqrt{3}）}{1+4{k}^{2}}$，
同理可得：x₂+2=$\frac{-8k（-2k-\sqrt{3}）}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{8k（2k+\sqrt{3}）}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-16\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$，
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直線AB的斜率為定值$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、斜率計算公式、直線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．