Question

16．如圖所示，A（m，$\sqrt{3}$m）和B（n，-$\sqrt{3}$n）兩點(diǎn)分別在射線OS，OT（點(diǎn)S，T分別在第一，四象限）上移動(dòng)，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ） 求mn的值；
（Ⅱ） 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．

Answer 1

分析 （I）由向量數(shù)量積$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{2}$的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得m•n的值；
（II）欲求P點(diǎn)的軌跡C的方程，設(shè)點(diǎn)P（x，y），只須求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，由題意向量關(guān)系將x，y用m，n表示，最后消去m，n得到一個(gè)關(guān)系式，即得點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）由題，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（m，\sqrt{3}m）•（n，-\sqrt{3}n）=-2mn=-\frac{1}{2}$．
所以$mn=\frac{1}{4}$．（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）（x＞0），由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，得：$（x，y）=（m，\sqrt{3}m）+（n，-\sqrt{3}n）=（m+n，\sqrt{3}m-\sqrt{3}n）$，（6分）
令$\left\{\begin{array}{l}x=m+n\\ y=\sqrt{3}m-\sqrt{3}n\end{array}\right.$則${x^2}-\frac{y^2}{3}=4mn$，（8分）
又$mn=\frac{1}{4}$，所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為${x^2}-\frac{y^2}{3}=1（x＞0）$．（10分）
表示以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為2，焦距為4的雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$右支．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，以及求直線方程的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．