Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=-

1

4x

+

1

2x

，則此函數(shù)的值域為

 

．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題,函數(shù)的值域

專題：換元法,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：設t=

1

2x

，利用換元法求得當x≥0時函數(shù)的值域，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得當x≤0時函數(shù)的值域，然后求并集可得答案．

解答： 解：設t=

1

2x

，當x≥0時，2^x≥1，∴0＜t≤1，
f（t）=-t²+t=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
∴0≤f（t）≤

1

4

，
故當x≥0時，f（x）∈[0，

1

4

]；
∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴當x≤0時，f（x）∈[-

1

4

，0]；
故函數(shù)的值域時[-

1

4

，

1

4

]．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)及其應用，考查了函數(shù)值域的求法，運用換元法求得x≥0時函數(shù)的值域是解答本題的關鍵．