Question

【題目】已知函數(shù) ，f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若F（x）=f（x）+b，函數(shù)F（x）在x=1處的切線方程為2x+y﹣1=0，求a，b的值；
（2）若f′（x）≤﹣x+ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù) ，

∴F′（x）=lnx+x﹣ax2，

∵函數(shù)F（x）在x=1處的切線方程為2x+y﹣1=0，

∴F′（1）=﹣2，F(xiàn)（1）=﹣1，

∴1﹣a=﹣2，﹣1+ ﹣ +b=﹣1，

∴a=3，b=

（2）解：lnx+x﹣ax2≤﹣x+ax，

∴a≥ ，

設(shè)g（x）= ，則g′（x）= ，

又h（x）=1﹣lnx﹣x，則h′（x）=﹣ ﹣1＜0

又因為h（1）=0，所以（0，1），h（x）＞0，（1，+∞），h（x）＜0，

∴g（x）= 在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴g（x）max=1，

∴a≥1．

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)F（x）在x=1處的切線方程為2x+y﹣1=0，F(xiàn)′（1）=﹣2，F(xiàn)（1）=﹣1，即可求a，b的值；（2）若f′（x）≤﹣x+ax恒成立，a≥ ，求出右邊的最大值，即可求實數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．