Question

【題目】已知正數(shù)數(shù)列{xn}滿足x1= ，xn+1= ，n∈N* ．
（1）求x2 ， x4 ， x6 ．
（2）猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正數(shù)數(shù)列{xn}滿足x1= ，xn+1= ，n∈N*．

∴x2= = ．同理可得x4= ，x6=

（2）解：由x2≥x4≥x6．猜想：數(shù)列{x2n}的單調(diào)遞減．

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1，2時，命題成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k∈N*時命題成立，即x2k＞x2k+2，xk＞0．

當(dāng)n=k+1時，x2k+2﹣x2k+4= ﹣ = = ＞0，即x2（k+1）＞x2（k+1）+2，也就是說，當(dāng)n=k+1時命題也成立．

結(jié)合①和②知命題成立

【解析】（1）由正數(shù)數(shù)列{xn}滿足x1= ，xn+1= ，n∈N* ． 可得x2= = ．同理可得x4 ， x6 ． （2）由x2≥x4≥x6 ． 猜想：數(shù)列{x2n}的單調(diào)遞減．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．