Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒過定點(diǎn)（3，2），若將函數(shù)f（x）的圖象向下平移1個單位，再向左平移a個單位后得到函數(shù)g（x）；
（1）求實數(shù)a的值與g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)h（x）=

g(x)-1

g(x)+1

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，代入（3，2），從而求出a，再由圖象變換求出g（x）的解析式；
（2）函數(shù)h（x）=

g(x)-1

g(x)+1

可化為y=

3x-1

3x+1

，則3x=-

y+1

y-1

＞0，從而解出值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒過定點(diǎn)（3，2），
則f（3）=a^3-a+1=2，
即a^3-a=1，
3-a=0，
a=3，
則f（x）=3^x-3+1，
又由函數(shù)f（x）的圖象向下平移1個單位，再向左平移3個單位后得到函數(shù)g（x）；
則g（x）=3^x．
（2）函數(shù)h（x）=

g(x)-1

g(x)+1

可化為y=

3x-1

3x+1

，
則3x=-

y+1

y-1

＞0，
解得-1＜y＜1，
即h（x）的值域為（-1，1）．

點(diǎn)評：本題考查了令參數(shù)時參數(shù)的求法，代入點(diǎn)即可；同時考查了圖象的變換及函數(shù)的值域的求法，屬于基礎(chǔ)題．