Question

18．已知函數(shù)f（x）=2x³+（4+$\frac{m}{2}$）x²-8x-16，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)f（x）在區(qū)間（t，3）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{70}{3}$，+∞）
• B． （16，+∞）
• C． （-$\frac{70}{3}$，16）
• D． （-$\frac{70}{4}$，-16）

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{f′（t）＜0}\\{f′（3）＞0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：由函數(shù)f（x）=2x3+（4+$\frac{m}{2}$）x2-8x，
得：f′（x）=6x²+（8+m）x-8．
要使對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)f（x）在區(qū)間（t，3）上不單調(diào)，
說明導(dǎo)函數(shù)f′（x）的值在（t，3）上有正有負(fù)，
因?yàn)槎�次函�?shù)f′（x）=6x²+（8+m）x-8的圖象開口向上，且恒過定點(diǎn)（0，-8），
所以，只需$\left\{\begin{array}{l}{f′（t）＜0}\\{f′（3）＞0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{{6t}^{2}+（8+m）t-8＜0，①}\\{54+3（m+8）-8＞0，②}\end{array}\right.$
由①得：m＜-6t+$\frac{8}{t}$-8，（t∈[1，2]，
而${（-6t+\frac{8}{t}-8）}_{min}$=-6×2+$\frac{8}{2}$-8=-16，
所以，m＜-16．
由②得：m＞-$\frac{70}{3}$．
綜上：-$\frac{70}{3}$＜m＜-16．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′（x）的值在（t，3）上有正有負(fù)，得到不等式組是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．