【題目】已知,,其中,函數(shù)與關(guān)于直線對稱.
(1)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求a的取值范圍;
(2)證明:;
(3)設(shè),其中恒成立,求滿足條件的最小正整數(shù)b的值.
【答案】(1) ;(2)證明見解析;(3) 2.
【解析】
(1)求出的導函數(shù),由函數(shù)在區(qū)間上遞增,則在上恒成立.
(2)由(1)可知當時,函數(shù)在區(qū)間上遞增,則可得,然后可證明.
(3)由恒成立,即,求出的導函數(shù),然后再對求導,判斷符號,得出函數(shù)的單調(diào)性,求出最小值,列出不等式然后求解.
(1) ,則.
由函數(shù)在區(qū)間上遞增,
所以在區(qū)間上恒成立.
即在區(qū)間上恒成立.
設(shè),則在區(qū)間上恒成立.
所以在單調(diào)遞.增,則,
所以.
(2) 由(1)可知當時,函數(shù)在區(qū)間上遞增,
所以,即,
所以.
所以.
(3)函數(shù)與關(guān)于直線對稱,則.
所以,即.
恒成立即,
又,設(shè),則
由,所以,即在上單調(diào)遞增.
所以在上單調(diào)遞增.且,
則一定存在,使得.即,
所以
當時,,當時,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
則,
所以
由,,得.
設(shè) ,則,
設(shè),則在上恒成立.
所以在上單調(diào)遞增,所以,
所以在上單調(diào)遞增,.
又為整數(shù),所以.
所以最小正整數(shù)b的值為2.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下(提示:可以用第(2)問的結(jié)論),任意的,證明:.
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【題目】如圖,扇形AOB是一個觀光區(qū)的平面示意圖,其中圓心角∠AOB為,半徑OA為1 km.為了便于游客觀光休閑,擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路,道路由弧AC、線段CD及線段DB組成,其中D在線段OB上,且CD∥AO.設(shè)∠AOC=θ.
(1)用θ表示CD的長度,并寫出θ的取值范圍;
(2)當θ為何值時,觀光道路最長?
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【題目】隨著醫(yī)院對看病掛號的改革,網(wǎng)上預約成為了當前最熱門的就診方式,這解決了看病期間病人插隊以及醫(yī)生先治療熟悉病人等諸多問題;某醫(yī)院研究人員對其所在地區(qū)年齡在10~60歲間的位市民對網(wǎng)上預約掛號的了解情況作出調(diào)查,并將被調(diào)查的人員的年齡情況繪制成頻率分布直方圖,如下所示.
(1)若被調(diào)查的人員年齡在20~30歲間的市民有300人,求被調(diào)查人員的年齡在40歲以上(含40歲)的市民人數(shù);
(2)若按分層抽樣的方法從年齡在以及內(nèi)的市民中隨機抽取10人,再從這10人中隨機抽取3人進行調(diào)研,記隨機抽取的3人中,年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求的分布列以及數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù)在上至少存在兩個不同的,滿足,且函數(shù)在上具有單調(diào)性,和分別為函數(shù)圖象的一個對稱中心和一條對稱軸,則下列命題中正確的是( 。
A.函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為
B.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱
C.函數(shù)圖象關(guān)于點對稱
D.函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)
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【題目】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),當時,.
(1)求出函數(shù)在R上的解析式;
(2)畫出函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出的單調(diào)區(qū)間.
(3)求使時的的值.
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【題目】天文學中為了衡量星星的明暗程度,古希臘天文學家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小,星星就越亮;星等的數(shù)值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度計在天體光度測量中的應(yīng)用,英國天文學家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍,則與最接近的是(當較小時, )
A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27
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