Question

19．設(shè)直線nx+（n+1）y=$\sqrt{2}$（n∈N^*）與兩坐標軸圍城的三角形的面積為S_n，則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆的值為$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 先化為截距式方程，分別求出直線與兩坐標軸的交點，根據(jù)三角的面積公式得到S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，即可求出答案．

解答 解：∵直線nx+（n+1）y=$\sqrt{2}$，
∴y=-$\frac{n}{n+1}$x+$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$，
∴直線與兩坐標軸的交點為（0，$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$），（$\frac{\sqrt{2}}{n}$，0），
∴S_n=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$×$\frac{\sqrt{2}}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$
故答案為：$\frac{2016}{2017}$

點評 本題主要考查數(shù)列的求和方法：裂項相消法．要求會求一次函數(shù)與兩坐標軸的交點坐標；熟悉三角形的面積公式；記�。�$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n為自然數(shù)）是解題的關(guān)鍵．