Question

10．在△ABC中，若a²-b²=$\sqrt{3}$bc，且$\frac{sin（A+B）}{sinB}$=2$\sqrt{3}$，則角A=（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得c=2$\sqrt{3}$b，結(jié)合a²-b²=$\sqrt{3}$bc，可得a²=7b²，由余弦定理可求cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），即可求得A的值．

解答 解：∵在△ABC中，$\frac{sin（A+B）}{sinB}$=$\frac{sinC}{sinB}$=2$\sqrt{3}$，由正弦定理可得：$\frac{c}=\frac{sinC}{sinB}$=2$\sqrt{3}$，即：c=2$\sqrt{3}$b，
∵a²-b²=$\sqrt{3}$bc，
∴a²-b²=$\sqrt{3}$b×2$\sqrt{3}b$，解得：a²=7b²，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+12^{2}-7^{2}}{2b×2\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．