Question

7．某同學(xué)研究相關(guān)資料，得到兩種求sin18°的方法，兩種方法的思路如下：
思路一：作頂角A為36°的等腰三角形ABC，底角B的平分線交腰AC于D；
思路二：由二倍角公式cos2α=2cos²α-1，可知cos2α可表示為cosα的二次多項(xiàng)式，推測cos3α也可以用cosα的三次多項(xiàng)式表示，再結(jié)合cos54°=sin36°．
請(qǐng)你按某一種思路：計(jì)算得sin18°的精確值為$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)α=18°，則cos3α=sin2α，利用三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式展開化簡可得sinα的值．

解答 解：設(shè)α=18°，則5α=90°，從而3α=90°-2α，
于是cos3α=cos（90°-2α），
即cos3α=sin2α，展開得4cos³α-3cosα=2sinαcosα，∵cosα=cos18°≠0，
∴4cos²α-3=2sinα，化簡得4sin²α+2sinα-1=0，解得sinα=$\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$，或sinα=$\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$（舍去），
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式、三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．