Question

3．甲乙兩俱樂部舉行乒乓球團(tuán)體對(duì)抗賽．雙方約定：
①比賽采取五場(chǎng)三勝制（先贏三場(chǎng)的隊(duì)伍獲得勝利．比賽結(jié)束）
②雙方各派出三名隊(duì)員．前三場(chǎng)每位隊(duì)員各比賽-場(chǎng)
已知甲俱樂部派出隊(duì)員A₁、A₂．A₃，其中A₃只參加第三場(chǎng)比賽．另外兩名隊(duì)員A₁、A₂比賽場(chǎng)次未定：乙俱樂部派出隊(duì)員B₁、B₂．B₃，其中B₁參加第一場(chǎng)與第五場(chǎng)比賽．B₂參加第二場(chǎng)與第四場(chǎng)比賽．B₃只參加第三場(chǎng)比賽
根據(jù)以往的比賽情況．甲俱樂部三名隊(duì)員對(duì)陣乙俱樂部三名隊(duì)員獲勝的概率如表：

	A1	A2	A3
B1	$\frac{5}{6}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{3}$
B2	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$
B3	$\frac{6}{7}$	$\frac{5}{6}$	$\frac{2}{3}$

（I）若甲俱樂部計(jì)劃以3：0取勝．則應(yīng)如何安排A₁、A₂兩名隊(duì)員的出場(chǎng)順序．使得取勝的概率最大？
（Ⅱ）若A₁參加第一場(chǎng)與第四場(chǎng)比賽，A₂參加第二場(chǎng)與第五場(chǎng)比賽，各隊(duì)員每場(chǎng)比賽的結(jié)果互不影響，設(shè)本次團(tuán)體對(duì)抗賽比賽的場(chǎng)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出A₁、A₂兩名隊(duì)員分別參加第一場(chǎng)和第二場(chǎng)比賽甲俱樂部計(jì)劃以3：0取勝的概率，再求出A₁、A₂兩名隊(duì)員分別參加第二場(chǎng)和第一場(chǎng)比賽，甲俱樂部計(jì)劃以3：0取勝的概率．由此能求出甲俱樂部安排A₁、A₂兩名隊(duì)員分別參加第一場(chǎng)和第二場(chǎng)比賽，則三場(chǎng)即獲勝的概率最大．
（2）由題意比賽場(chǎng)次X的可能取值為3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A₁、A₂兩名隊(duì)員分別參加第一場(chǎng)和第二場(chǎng)比賽，
甲俱樂部計(jì)劃以3：0取勝的概率p₁=$\frac{5}{6}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{10}{27}$．
設(shè)A₁、A₂兩名隊(duì)員分別參加第二場(chǎng)和第一場(chǎng)比賽，
甲俱樂部計(jì)劃以3：0取勝的概率p₂=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
∵p₁＞p₂，
∴甲俱樂部安排A₁、A₂兩名隊(duì)員分別參加第一場(chǎng)和第二場(chǎng)比賽，則三場(chǎng)即獲勝的概率最大．
（2）由題意比賽場(chǎng)次X的可能取值為3，4，5，
P（X=3）=$\frac{5}{6}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=4）=$\frac{5}{6}{C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{6}{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{5}{6}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{19}{54}$，
P（X=5）=1-P（X=3）-P（X=4）=$\frac{7}{27}$，
∴X的分布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{7}{18}$	$\frac{19}{54}$	$\frac{7}{27}$

∴EX=$3×\frac{7}{18}+4×\frac{19}{54}+5×\frac{7}{27}$=$\frac{209}{54}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．