Question

8．已知直線y=kx+2與曲線$f（x）=|{x+\frac{1}{x}}|-|{x-\frac{1}{x}}|$恰有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值構(gòu)成集合是$\{0，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}\}$．

Answer 1

分析 通過去絕對值符號可知分段函數(shù)f（x）的表達(dá)式，進(jìn)而通過圖象可知滿足題意的三種情況，計算即得結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x≤-1時，f（x）=-x-$\frac{1}{x}$+x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2}{x}$，
當(dāng)-1＜x＜0時，f（x）=-x-$\frac{1}{x}$-x+$\frac{1}{x}$=-2x，
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+x-$\frac{1}{x}$=2x，
當(dāng)x≥1時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-x+$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x}，}&{x≤-1}\\{-2x，}&{-1＜x＜0}\\{2x，}&{0＜x＜1}\\{\frac{2}{x}，}&{x≥1}\end{array}\right.$，
顯然當(dāng)k=0時滿足題意，
另外還有兩種情況，即直線與函數(shù)f（x）的圖象在x＜-1、x＞1這兩段上的圖象相切，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，消去y整理得：kx²+2x-2=0，
令△=4+8k=0，可知k=-$\frac{1}{2}$，即k=-$\frac{1}{2}$滿足題意，
由對稱性可知k=$\frac{1}{2}$也滿足題意，
綜上所述，k=0、-$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\{0，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}\}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．