Question

17．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面的邊長都是2，D是AC的中點．
（1）求證：BD⊥A₁D；
（2）求直線BA₁與平面AA₁C₁C所成角的余弦值；
（3）求三棱錐A₁-ABD的體積；
（4）求三角形A₁BD的面積，并求出點A到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析 （1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中點．可得BD⊥AC，AA₁⊥底面ABC，于是AA₁⊥BD，BD⊥平面ACC₁A₁，即可證明．
（2）如圖所示，建立空間直角坐標系．取平面AA₁C₁C的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．設直線BA₁與平面AA₁C₁C所成角為θ．利用sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{m}|}$，即可得出．
（3）由已知可得：點A₁到平面ABC的距離d=AA₁=2．利用${V}_{{A}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}d•{S}_{△ABD}$，即可得出．
（4）設點A到平面A₁BD的距離為h．利用${V}_{A-{A}_{1}BD}$=${V}_{{A}_{1}-ABD}$，即可得出．

解答 （1）證明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中點．
∴BD⊥AC，AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BD，
又AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴BD⊥A₁D．
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
B（$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，1，2）．
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=$（\sqrt{3}，-1，-2）$，取平面AA₁C₁C的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
設直線BA₁與平面AA₁C₁C所成角為θ．
則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
（3）解：∵AA₁⊥底面ABC，∴點A₁到平面ABC的距離d=AA₁=2．
又S_△ABD=$\frac{1}{2}BD•AD$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴${V}_{{A}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}d•{S}_{△ABD}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（4）解：在Rt△ADA₁，A₁D=$\sqrt{A{A}_{1}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
由（1）可知：BD⊥A₁D．
∴${S}_{△{A}_{1}BD}$=$\frac{1}{2}BD•{A}_{1}D$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{35}}{2}$．
設點A到平面A₁BD的距離為h．
則${V}_{A-{A}_{1}BD}$=${V}_{{A}_{1}-ABD}$
∴$\frac{1}{3}•h•{S}_{△{A}_{1}BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{35}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{105}}{35}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、體積計算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．