Question

19．已知拋物線C：x²=16y的焦點為F，直線l過點F交拋物線C于A、B兩點．
（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}$的取值范圍；
（2）是否存在定點Q，使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）通過拋物線C方程可知F（0，4），從而可設直線l方程為y-4=kx，并與拋物線方程聯(lián)立可知x₁+x₂=16k、x₁x₂=-64，進而化簡計算即得結論；
（2）取定點Q（0，-4），則tan∠AQF=$\frac{-16{x}_{1}}{64+{{x}_{1}}^{2}}$、tan∠BQF=$\frac{16{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+64}$，通過（1）代入x₁x₂=-64化簡，計算即得結論．

解答 解：（1）∵拋物線C：x²=16y，
∴F（0，4），
依題意可知直線l的斜率k存在，設直線l方程為：y-4=kx，
聯(lián)立直線與拋物線方程，消去y整理得：x²-16kx-64=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理可知：x₁+x₂=16k，x₁x₂=-64，
則$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}$=16（$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$）=16•$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$
=$\frac{16[（16k）^{2}-2•（-64）]}{（-64）^{2}}$=k²+$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}$的取值范圍是：（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）結論：存在定點Q（0，-4），使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF．
理由如下：
由（1）可知：x₁+x₂=16k，x₁x₂=-64，
則tan∠AQF=$\frac{{0-x}_{1}}{{y}_{1}-（-4）}$=$\frac{-{x}_{1}}{4+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}}$=$\frac{-16{x}_{1}}{64+{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{-16{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-16}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
tan∠BQF=$\frac{{x}_{2}-0}{{y}_{2}-（-4）}$=$\frac{{x}_{2}}{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+4}$=$\frac{16{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
∴tan∠AQF=tan∠BQF，即無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查數(shù)形結合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．