Question

5．已知△ABC的三邊長分別為BC=a，AC=b，AB=c，I為△ABC的內(nèi)心，且I在△ABC的邊BC、AC、AB上的射影分別為D、E、F，求AE的長度以及△ABC內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和內(nèi)心的性質(zhì)列出方程求出AE，根據(jù)面積相等、余弦定理和平方關(guān)系求出△ABC內(nèi)切圓的半徑．

解答 解：如圖所示：I為△ABC的內(nèi)心，D、E、F分別是三邊的切點，
∴AE=AF，BD=BF，CD=CE，
設(shè)AE=AF=x，則BF=c-x，CE=b-x，
∴BC=BD+CD，則a=c-x+b-x，得x=$\frac{b+c-a}{2}$，
即AE=$\frac{b+c-a}{2}$，
設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}（a+b+c）r$，
在△ABC中，由余弦定理得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{[（b+c）^{2}-{a}^{2}][{a}^{2}-（b-c）^{2}）}}{2bc}$，
由面積相等得，$\frac{1}{2}（a+b+c）r$=$\frac{1}{2}bc•$$\frac{\sqrt{[（b+c）^{2}-{a}^{2}][{a}^{2}-（b-c）^{2}）}}{2bc}$，
化簡得r=$\frac{\sqrt{[（b+c）^{2}-{a}^{2}][{a}^{2}-（b-c）^{2}]}}{2（a+b+c）}$，
綜上可得，AE=$\frac{b+c-a}{2}$、△ABC內(nèi)切圓的半徑是$\frac{\sqrt{[（b+c）^{2}-{a}^{2}][{a}^{2}-（b-c）^{2}]}}{2（a+b+c）}$．

點評 本題考查余弦定理，三角形內(nèi)心的性質(zhì)等，以及等面積法的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．