Question

曲線y=xsinx在點(diǎn)(-

π

2

，

π

2

)處的切線與x軸、直線x=π所圍成的三角形的面積為（　　）

• A．

  π2

  2

• B．π²
• C．2π²
• D．

  1

  2

  (2+π)2

Answer 1

分析：欲切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，只須求出切線在坐標(biāo)軸上的截距即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=-

π

2

處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后求出切線的方程，從而問題解決．

解答：解：求導(dǎo)數(shù)可得y′=sinx+xcosx，
∴x=-

π

2

時(shí)，f′（-

π

2

）=-1
∴曲線f（x）=xsinx在x=-

π

2

處的切線方程為y-

π

2

=-（x+

π

2

），即x+y=0
當(dāng)x=0時(shí)，y=0．即切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，0），
∴切線與x軸，直線x=1所圍成的三角形面積為：
S=

1

2

×π×π=

1

2

π2．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的方程、三角形的面積、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．