Question

4．已知P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的左，右焦點，P到兩準(zhǔn)線的距離分別為10和8，且∠F₁PF₂=60°，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析 利用P到兩準(zhǔn)線的距離分別為10和8，可得$\frac{2{a}^{2}}{c}$=18，|PF₁|=$\frac{8c}{a}$，|PF₂|=$\frac{10c}{a}$，結(jié)合余弦定理，求出a，c，可得b，即可求此橢圓的方程．

解答 解：∵P到兩準(zhǔn)線的距離分別為10和8，
∴$\frac{2{a}^{2}}{c}$=18，|PF₁|=$\frac{8c}{a}$，|PF₂|=$\frac{10c}{a}$，
∵∠F₁PF₂=60°
∴4c²=（$\frac{8c}{a}$）²+（$\frac{10c}{a}$）²-2×$\frac{8c}{a}$×$\frac{10c}{a}$×$\frac{1}{2}$，
∴a²=21，
∴c=$\frac{7}{3}$，
∴b²=$\frac{140}{9}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{21}+\frac{{y}^{2}}{\frac{140}{9}}$=1．

點評 本題考查求橢圓的方程，考查橢圓的性質(zhì)，余弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．．