Question

13．在區(qū)間[1，5]上，f（x）=x²-mx+4的圖象恒在y=x的圖象上方，則m的取值范圍是（-∞，3）．

Answer 1

分析 由題意可得x²-mx+4＞x在[1，5]恒成立，即m+1＜x+$\frac{4}{x}$的最小值，運(yùn)用基本不等式求得最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：區(qū)間[1，5]上，f（x）=x²-mx+4的圖象恒在y=x的圖象上方，
即為x²-mx+4＞x在[1，5]恒成立，
即m+1＜x+$\frac{4}{x}$的最小值，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$，由基本不等式可得x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2∈[1，5]，取得最小值，且為4，
則m+1＜4，解得m＜3．
故答案為：（-∞，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．