Question

3．在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，E為AD上一點，且滿足∠BDE=2∠CED=∠BAC．求證：BD=2CD．

Answer 1

分析 作DO∥AB交AC于O，取F為△EDC的外接圓與AC的交點，利用△ADO∽△ABE，即得$\frac{OD}{AE}=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AE}$，即可得出結(jié)論．

解答 證明：作DO∥AB交AC于O．
則由AB=AC易知OD=OC，且∠DOC=∠A=2∠CED，
所以O為△EDC的外心，
取F為△EDC的外接圓與AC的交點，則OF=OC=OD，∠ACE=∠ADF．
所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．
再由DO∥AB，∠ADO=∠BAE，∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB，
所以△ADO∽△ABE，即得$\frac{OD}{AE}=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AE}$．
故AF=OD=OC=CF，從而AO=2OC．
由DO∥AB得：BD=2CD．

點評 本題考查三角形相似的證明，考查比例的性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．