Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，則a∈（0，+∞）時(shí)，實(shí)數(shù)b的最大值是（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$
• B． $\frac{13}{6}$e⁶
• C． $\frac{1}{6}$e⁶
• D． $\frac{7}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 設(shè)公共點(diǎn)為P（x₀，y₀），分別求出f′（x）和g′（x），由題意可得f′（x₀）=g′（x₀），列出方程求出解出x₀，再由f（x₀）=g（x₀）得到b關(guān)于a的函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由a的范圍和導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到b的最大值．

解答 解：設(shè)曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線相同，
因?yàn)閒′（x）=x+2a，g′（x）=$\frac{3{a}^{2}}{x}$，且f′（x₀）=g′（x₀），
所以x₀+2a=$\frac{3{a}^{2}}{{x}_{0}}$，化簡得${{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}-3{a}^{2}=0$，
解得x₀=a或-3a，又x₀＞0，且a＞0，則x₀=a，
因?yàn)閒（x₀）=g（x₀），所以$\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3{a}^{2}ln{x}_{0}+b$，
則b（a）=$\frac{5}{2}{a}^{2}-3{a}^{2}lna$（a＞0），
所以b′（a）=5a-3（2alna+a）=2a-6alna=2a（1-3lna），
由b′（a）=0得，a=${e}^{\frac{1}{3}}$，
所以當(dāng)0＜a＜${e}^{\frac{1}{3}}$時(shí)，b′（a）＞0；當(dāng)a＞${e}^{\frac{1}{3}}$時(shí)，b′（a）＜0，
即b（a）在（0，${e}^{\frac{1}{3}}$）上單調(diào)遞增，b（a）在（${e}^{\frac{1}{3}}$，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)a=${e}^{\frac{1}{3}}$時(shí)，實(shí)數(shù)b的取到極大值也是最大值b（${e}^{\frac{1}{3}}$）=${\frac{3}{2}e}^{\frac{2}{3}}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，以及對數(shù)不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．