Question

9．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F（0，1），直線l：y=-1，點(diǎn)H是直線l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)H垂直于l的直線交線段FH的中垂線于點(diǎn)M．記點(diǎn)M的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）若A，B為曲線Γ上異于原點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，過A，B分別作曲線T的兩條切線l₁、l₂，l₁、l₂相交于點(diǎn)P，且與x軸分別交于E、F，設(shè)△PEF與△OAB的面積分別為S₁、S₂．試問：是否存在實(shí)數(shù)λ使得S₁=λS₂？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意|MF|=|MH|，所以M點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)F（0，1）為焦點(diǎn)，直線l：y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，即可求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，與橢圓方程聯(lián)立，求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，計(jì)算S₁、S₂，即可求出λ的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意|MF|=|MH|，
所以M點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)F（0，1）為焦點(diǎn)，直線l：y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線Γ的方程為x²=4y；…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)顯然不合題意；
設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，與橢圓方程聯(lián)立消去y得x²-4kx-4b=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，…（6分）
曲線Γ的方程為y=$\frac{1}{4}$x²，y′=$\frac{1}{2}$x，
切線PA：y=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁）+y₁，切線PB：y=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂）+y₂，…（8分）
P（2k，-2b），E（x₁-$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}}$，0），F(xiàn)（x₂-$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}}$，0）（10分）
線段|EF|=|x₂-x₁+$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}}$-$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}}$|，化簡得|EF|=$\frac{1}{2}$|x₂-x₁|，
所以S₁=$\frac{1}{2}$|EF|y_P=$\frac{1}{4}$b|x₂-x₁|，S₂=$\frac{1}{2}$b|x₂-x₁|，…（13分）
所以存在λ=$\frac{1}{2}$，使得S₁=$\frac{1}{2}$S₂．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義域方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．