Question

18．如圖，半徑為2的半圓有一內(nèi)接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．若雙曲線(xiàn)以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)，則當(dāng)梯形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí)，雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 設(shè)∠BAC=θ，作CE⊥AB于點(diǎn)E，則可表示出BC，EB，CD，進(jìn)而可求得梯形的周長(zhǎng)的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得周長(zhǎng)的最大值時(shí)θ的值，則AC和BC可求，進(jìn)而根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義求得雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)．

解答 解：設(shè)∠BAC=θ，作CE⊥AB于點(diǎn)E，
則BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，
有CD=2R-4Rsin²θ，
梯形ABCD的周長(zhǎng)l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²θ
=8+8sinθ-8sin²θ=-8（sinθ-$\frac{1}{2}$）²+10，
當(dāng)sinθ=$\frac{1}{2}$，即θ=30°時(shí)，l有最大值10，
即有BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，a=$\frac{1}{2}$（AC-BC）=$\sqrt{3}$，
可得雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2$\sqrt{3}$-2．
故答案為：2$\sqrt{3}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線(xiàn)的應(yīng)用，雙曲線(xiàn)的定義．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．