Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若f（x）的導(dǎo)函數(shù)圖象的對稱軸是直線：x=x₀，則函數(shù)f（x）圖象的對稱中心是點（x₀，f（x₀））．根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)g（x）=x³-3x²+3x+1+asin（x-1）（a∈R且a為常數(shù)），則g（-2012）+g（-2010）+g（-2008）+g（-2006）+…+g（2012）+g（2014）的值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令f（x）=x³-3x²+3x+1，h（x）=asin（x-1），由f′（x）=3x²-6x+3，f′（x）的圖象的對稱軸是x=1，f（x）的對稱中心是（1，2），從而f（-2012）+f（2014）=4，同理，得f（-2010）+f（2012）=f（-2008）+f（2010）=…=f（0）+f（2）=4，h（-2012）+h（2014）=0，由此能求出g（-2012）+g（-2010）+g（-2008）+g（-2006）+…+g（2012）+g（2014）的值．

解答： 解：令f（x）=x³-3x²+3x+1，
h（x）=asin（x-1），
由f′（x）=3x²-6x+3，
f′（x）的圖象的對稱軸是x=1，
∴f（x）的對稱中心是（1，2），
∴點（-2012，f（-2012））與點（2014，f（2014））關(guān)于點（1，2）對稱，
即

f(-2012)+f(2014)

2

=2，
∴f（-2012）+f（2014）=4，
同理，得f（-2010）+f（2012）=f（-2008）+f（2010）=…=f（0）+f（2）=4，
∵h(yuǎn)（x）=asin（x-1）=0圖象關(guān)于點（1，0）對稱，
∴h（-2012）+h（2014）=0，
h（-2010）+h（2012）=h（-2008）+h（2010）=…=h（0）+h（2）=0，
∴g（-2012）+g（-2010）+g（-2008）+g（-2006）+…+g（2012）+g（2014）=4028．
故答案為：4028．

點評：本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．