Question

17．如圖，已知點(diǎn)S（0，3），SA，SB與圓C：x²+y²-my=0（m＞0）和拋物線x²=-2py（p＞0）都相切，切點(diǎn)分別為M，N和A，B，SA∥ON，$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{MN}$，則實(shí)數(shù)λ的值為（　�。�

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合平行的條件可得四邊形MSNO為菱形，由直線和圓相切的條件和勾股定理、弦長公式，解方程可得m=2，直線的斜率為$\sqrt{3}$，可得MN=$\sqrt{3}$，由直線和拋物線相切的條件：判別式為0，可得切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可得AB的長為4$\sqrt{3}$，由向量共線定理，即可得到所求值．

解答 解：由S向圓作切線，可得SM=SN，∠MSO=∠NSO，
若SA∥ON，即有四邊形MSNO為菱形，
在直角△SMO中，tan∠SMN=$\frac{SO}{\frac{MN}{2}}$=$\frac{3}{MN}$，
圓C：x²+y²-my=0的圓心為（0，$\frac{m}{2}$），半徑r=$\frac{m}{2}$，
設(shè)切線為y=kx+3，k＞0，
由相切的條件可得$\frac{|3-\frac{m}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{m}{2}$，①
MN=2$\sqrt{（\frac{m}{2}）^{2}-（\frac{3}{2}-\frac{m}{2}）^{2}}$=$\sqrt{6m-9}$，
即有k=$\frac{3}{\sqrt{6m-9}}$，②
將②代入①可得m=2，k=$\sqrt{3}$，
則MN=$\sqrt{3}$，
由y=$\sqrt{3}$x+3和拋物線x²=-2py，
可得x²+2$\sqrt{3}$px+6p=0，
由判別式12p²-24p=0，
解得p=2，
求得切點(diǎn)A（-2$\sqrt{3}$，-3），
由于$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{MN}$，即MN∥AB，
則AB=4$\sqrt{3}$，
即有λ=$\frac{AB}{MN}$=4．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓、拋物線相切的條件，向量共線的定理的運(yùn)用，考查直線和圓相交的弦長公式，以及平面幾何的勾股定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．