Question

2．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知x₁=$\sqrt{e}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）和x₂是函數(shù)f（x）的兩個不同的零點，求a的值并證明：x₂＞e${\;}^{\frac{3}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）先求出a的值，得到函數(shù)f（x）的表達式，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$．
①若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)；
②若a＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$．
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a＞0時，f（x）的遞增區(qū)間為
（0，$\frac{1}{a}$），遞減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）因為x₁=$\sqrt{e}$是函數(shù)f（x）的零點，所以f（$\sqrt{e}$）=0，即$\frac{1}{2}$-a$\sqrt{e}$=0，
解得a=$\frac{1}{2\sqrt{e}}$=$\frac{\sqrt{e}}{2e}$．
所以f（x）=lnx-$\frac{1}{2\sqrt{e}}$x．
因為f（${e}^{\frac{3}{2}}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{e}{2}$＞0，f（${e}^{\frac{5}{2}}$）=$\frac{5}{2}$-$\frac{{e}^{2}}{2}$＜0，所以f（${e}^{\frac{3}{2}}$）f（${e}^{\frac{5}{2}}$）＜0．
所以x₂∈（${e}^{\frac{3}{2}}$，${e}^{\frac{5}{2}}$），即：x₂＞${e}^{\frac{3}{2}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查不等式的證明，是一道中檔題．