【題目】(分)已知橢圓的左焦點為,過的直線與交于、兩點.
()求橢圓的離心率.
()當(dāng)直線與軸垂直時,求線段的長.
()設(shè)線段的中點為,為坐標(biāo)原點,直線交橢圓交于、兩點,是否存在直線使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
【答案】(1) (2) (3) 存在直線,使得.
【解析】
試題分析:(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,求得a,b,c,進(jìn)而得到離心率;(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時,即為x=﹣1,代入橢圓方程,求得縱坐標(biāo),進(jìn)而得到弦長;(3)設(shè)直線AB:x=my﹣1,代入橢圓方程,可得(3+2m2)y2﹣4my﹣4=0,運用韋達(dá)定理,以及中點坐標(biāo)公式可得P的坐標(biāo),再由向量共線的坐標(biāo)表示,解方程可得m,進(jìn)而判斷存在這樣是直線l.
解析:
()橢圓,
即為,可得,,,
故橢圓的離心率.
()當(dāng)直線與軸垂直時,即為,代入橢圓方程可得,,
故線段的長為.
()由,設(shè)直線,代入橢圓方程得,
設(shè),,則,
即有中點的坐標(biāo)為,
直線,代入橢圓方程可得:,
可設(shè),,
假設(shè)存在直線使得,
即有,
則,解得,
故存在直線,使得.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)lnx,g(x)= ,已知曲線y=f(x)在x=1處的切線過點(2,3).
(1)求實數(shù)a的值.
(2)是否存在自然數(shù)k,使得函數(shù)y=f(x)﹣g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的零點?如果存在,求出k;如果不存在,請說明理由.
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)},(其中min{p,q}表示p,q中的較小值),對于實數(shù)m,x0∈(0,+∞),使得h(x0)≥m成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點是棱上的一個動點,平面交棱于點.下列命題正確的為_______________.
①存在點,使得//平面;
②對于任意的點,平面平面;
③存在點,使得平面;
④對于任意的點,四棱錐的體積均不變.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項為正的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn , S4=30,過點P(n,log2an)和Q(n+2,log2an+1)(n∈N*)的直線的一個方向向量為(﹣1,﹣1)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn= ,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 證明:對于任意n∈N* , 都有Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓O的內(nèi)接四邊形BCED,BC為圓O的直徑,BC=2,延長CB,ED交于A點,使得∠DOB=∠ECA,過A作圓O的切線,切點為P,
(1)求證:BD=DE;
(2)若∠ECA=45°,求AP2的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,分別為橢圓的左右焦點,為橢圓的短軸頂點,且.
(1)求橢圓的方程
(2)過作直線交橢圓于兩點,求的面積的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐B﹣ACDE中,AE⊥平面ABC,CD∥AE,∠ABC=3∠BAC=90°,BF⊥AC于F,AC=4CD=4,AE=3.
(1)求證:BE⊥DF;
(2)求二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著人們社會責(zé)任感與公眾意識的不斷提高,越來越多的人成為了志愿者.某創(chuàng)業(yè)園區(qū)對其員工是否為志愿者的情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查,在隨機抽取的10位員工中,有3人是志愿者.
(1)在這10人中隨機抽取4人填寫調(diào)查問卷,求這4人中恰好有1人是志愿者的概率P1;
(2)已知該創(chuàng)業(yè)園區(qū)有1萬多名員工,從中隨機調(diào)查1人是志愿者的概率為 ,那么在該創(chuàng)業(yè)園區(qū)隨機調(diào)查4人,求其中恰有1人是志愿者的概率P2;
(3)該創(chuàng)業(yè)園區(qū)的A團隊有100位員工,其中有30人是志愿者.若在A團隊隨機調(diào)查4人,則其中恰好有1人是志愿者的概率為P3 . 試根據(jù)(Ⅰ)、(Ⅱ)中的P1和P2的值,寫出P1 , P2 , P3的大小關(guān)系(只寫結(jié)果,不用說明理由).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值.
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