Question

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），l與C分別交于M，N．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用極坐標(biāo)與普通方程的關(guān)系式，可得C為拋物線方程，消去參數(shù)t，可得直線l的方程；
（2）由|PM|=|t₁|，|MN|=|t₁-t₂|，|PN|=|t₂|成等比數(shù)列，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的等量關(guān)系求解．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C：ρsin²θ=2acosθ，可得ρ²sin²θ=2aρcosθ，它的直角坐標(biāo)方程為y²=2ax（a＞0）；

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，消去t，可得x-y-2=0，
直線l的普通方程為x-y-2=0．                      4分
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，得
t²-2（4+a）

2

t+8（4+a）=0  （*）
△=8a（4+a）＞0．
設(shè)點(diǎn)M，N分別對(duì)應(yīng)參數(shù)t₁，t₂，恰為上述方程的根．
則|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，|MN|=|t₁-t₂|．
由題設(shè)得（t₁-t₂）²=|t₁t₂|，即（t₁+t₂）²-4t₁t₂=|t₁t₂|．
由（*）得t₁+t₂=2（4+a）

2

，t₁t₂=8（4+a）＞0，則有
（4+a）²-5（4+a）=0，得a=1，或a=-4．
因?yàn)閍＞0，所以a=1．                            10分

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．