Question

已知函數(shù)f（x）=lg（10^x-1）
（1）求f（x）=lg（10^x-1）的反函數(shù)；
（2）若方程f^-1（2x）=λ+f（x）總有實(shí)根，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù),函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）先將函數(shù)y=lg（10^x-1）的形式轉(zhuǎn)化為用“y”表示“x”，再將字母“x”與“y”互相對(duì)調(diào)，得到本題結(jié)論；（2）將（1）所得的反函數(shù)解析式代入到方程f^-1（2x）=λ+f（x）中，參變量分離得λ=lg（10^x+1）-lg（10^x-1），求出函數(shù)值域，得實(shí)數(shù)λ的取值范圍，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵y=lg（10^x-1），
∴10^y=10^x-1，
∴10^y+1=10^x，
∴x=lg（10^y+1），
∴將字母“x”與“y”互相對(duì)調(diào)，得到：
y=lg（10^x+1），
即：f^-1（x）=lg（10^x+1）．
（2）由（1）得：f^-1（x）=lg（10^x+1），
∴方程f^-1（2x）=λ+f（x）可轉(zhuǎn)化為：
lg（10^x+1）=λ+lg（10^x-1），
∴λ=lg（10^x+1）-lg（10^x-1），
∴λ=lg

10x+1

10x-1

=lg(1+

2

10x-1

)，
∵10^x-1＞0，
∴1+

2

10x-1

＞1，
∴λ＞1．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)的求法、函數(shù)值域的研究，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．