Question

【題目】將邊長為的正三角形利用平行于邊的直線剖分為個邊長為1的小正三角形.圖3為的情形.證明：存在正整數(shù)，使得小三角形的頂點中可選出2000個點，其中，任意三點均不構(gòu)成正三角形.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先證明一個引理.

引理 若邊長為的正三角形內(nèi)部（不含邊界）可選出個點（而不構(gòu)成三角形），則邊長為3的正三角形可選出4個點.

證明 事實上，邊長3的正三角形可分為9個邊長的正三角形，如圖1，其中，4個（編號1、2、3、4）分別可選出個點（不構(gòu)成正三角形）.

圖1

下面證明：這4個點一起也不構(gòu)成正三角形.任取其中三點.

【情形1】

三點在同一編號的三角形內(nèi).

據(jù)該三角形內(nèi)個點的選取方式，故點不構(gòu)成三角形.

【情形2】

兩點（不妨設）在同一編號三角形，另一點在其余編號三角形內(nèi).

考慮含兩點的三角形，如圖2.據(jù)平面幾何知識，知與形成正三角形的第三個頂點應在一個“大三角形”內(nèi)，該大三角形以為中位三角形.圖1中每個編號的三角形的大三角形與其余編號的三角形并無交集.故點不構(gòu)成正三角形.

圖2

【情形3】

每個點在不同編號的三角形內(nèi).

據(jù)對稱性，只需考慮編號為1、2、4或2、3、4兩種．

前一種，不妨設點分別在編號1、2、4三角形內(nèi)．則兩點均在，但以為中位三角形的大三角形與編號4的三角形并無交集.

后一種，不妨設點分別在編號2、3、4三角形內(nèi)．則兩點均在內(nèi)，但以為中位三角形的大三角形與編號3的三角形并無交集.

于是，兩種類型均有點不構(gòu)成正三角形.

綜合以上三種情形，引理得證.

如圖，邊長為3的正三角形內(nèi)部（不含邊界）可選出一個點（而不形成正三角形）．用上述結(jié)論，可歸納證明：邊長為的三角形內(nèi)（不含邊界）可選出個點（而不構(gòu)成正三角形）.

只要證明：存在，使得.

由，知存在，使得.

從而，.

令即得.