Question

【題目】已知，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象．

（1）求函數(shù)的表達式；

（2）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（3）若函數(shù)在上的最小值為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”，即可求得函數(shù)；

（2）當(dāng)時，函數(shù)是一個以為對稱軸，開口向上的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得其在區(qū)間上的最大值與最小值；

（3）由于函數(shù)是以為對稱軸，開口向上的二次函數(shù)，定義域為，故需要討論對稱軸與定義域區(qū)間的位置關(guān)系，才能確定函數(shù)的最小值，由此列出分段函數(shù)，最后求這個分段函數(shù)的最大值即可.

（1），將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象．

根據(jù)平移變換可得：函數(shù)的表達式為

（2）由（1）可知

故：當(dāng)時，．

根據(jù)二次函數(shù)知識可得：是以對稱軸為，開口向上的二次函數(shù)

當(dāng)時，；

當(dāng)時，．

（3）函數(shù)的對稱軸為．

①當(dāng)，即時，

函數(shù)在上為增函數(shù)，

；

②當(dāng)，即時，．

當(dāng)且僅當(dāng)取等號，即

故當(dāng)時，

③當(dāng)，即時，

函數(shù)在上為減函數(shù)，

，

綜上可知，

當(dāng)時，函數(shù)的最大值為．