Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，a₂+a₄=14，a₅+a₇=26．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n（a_n²-1）=8，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：1≤T_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由（1）可得bn=

8

(2n+1)2-1

=2(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂項(xiàng)求和”可得T_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答： （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂+a₄=14，a₅+a₇=26．
∴

2a1+4d=14 2a1+10d=26

，解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）證明：∵b_n（a_n²-1）=8，
∴bn=

8

(2n+1)2-1

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)，
∴T_n＜2．
又?jǐn)?shù)列{1-

1

n+1

}單調(diào)遞增，∴T_n≥T₁=2×(1-

1

2

)=1．
綜上可得：1≤T_n＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．