Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如圖2．
（Ⅰ）求證：DE∥平面A₁CB；  
（Ⅱ）求證：A₁F⊥BE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由D，E分別是AC，AB上的中點，結合中位線定理和線面平行的判定定理可得結論；
（Ⅱ）由已知易得對折后DE⊥平面A₁DC，即DE⊥A₁F，結合A₁F⊥CD可證得A₁F⊥平面BCDE，再由線面垂直的性質可得結論．

解答：證明：（Ⅰ）∵D，E分別為AC，AB的中點，∴DE∥BC，
∵DE?平面A₁CB，BC?平面A₁CB，
∴DE∥平面A₁CB，
（Ⅱ）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC，∴DE⊥A₁D，
又DE⊥CD，A₁D∩CD=D
∴DE⊥平面A₁DC，
∵A₁F?平面A₁DC，
∴DE⊥A₁F，
又∵A₁F⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE?平面BCDE；
∴A₁F⊥平面BCDE
又∵BE?平面BCDE
∴A₁F⊥BE．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質，考查學生的分析推理證明與邏輯思維能力，其中熟練掌握空間線面關系的判定及性質，會將空間問題轉化為平面問題是解答本題的關鍵．