已知向量
m
=(
3
sin
x
4
，1)，
n
=(cos
x
4
，cos2
x
4
)，記f(x)=
m
•
n
，
（1）求f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=
1+
3
2
，試判斷△ABC的形狀．
因為向量
m
=(
3
sin
x
4
，1)，
n
=(cos
x
4
，cos2
x
4
)，
所以f(x)=
m
•
n
=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2

（1）f(x)=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
，值域[-
1
2
，
3
2
]．
令2kπ-
π
2
≤
x
2
+
π
6
≤2kπ+
π
2
得4kπ-
4π
3
≤x≤4kπ+
2π
3
，k∈Z，
單調(diào)增區(qū)間是[4kπ-
4π
3
，4kπ+
2π
3
]，k∈Z．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞0，∴cosB=
1
2

∵B∈（0，π），∴B=
π
3

∵f(A)=
1+
3
2
，
∴sin（
A
2
+
π
6
）=
3
2

∴
A
2
+
π
6
=
π
3
或
A
2
+
π
6
=
2π
3

∴A=
π
3
或A=π（舍去）
∴C=
π
3

∴A=
π
3
，B=
π
3
，C=
π
3
，所以三角形為等邊三角形．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx，cosx)，
n
=(cosx，cosx)，
p
=(2
3
，1)．
（1）若
m
∥
n
，求sinx•cosx的值；
（2）設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角B的取值集合為M，當(dāng)x∈M時，求函數(shù)f（x）=
m
•
n
的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(
1
2
f(x)，cosx)，
m
∥
n
．
（I）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間及在[-
π
6
，
π
4
]內(nèi)的值域；
（II）已知A為△ABC的內(nèi)角，若f(
A
2
)=1+
3
，a=1，b=
2
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，且
m
⊥
n
，
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0， 
π
2
]時，函數(shù)g(x)=a[f(x)-
1
2
]+b的最大值為3，最小值為0，試求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，
m
⊥
n
．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知A為△ABC的內(nèi)角，若f(
A
2
)=
1
2
+
3
2
，a=1，b=
2
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx，1)，
n
=(cosx，
1
2
)，若f(x)=
m
•
n
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，f(
A
2
+
π
12
)=
3
2
（A為銳角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．

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