Question

14．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x-cosx在區(qū)間[0，2π]上的值域為$[-1，\frac{7π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}]$．

Answer 1

分析 f′（x）=$\frac{1}{2}$+sinx，x∈[0，2π]．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得出．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{2}$+sinx，x∈[0，2π]．
令f′（x）=$\frac{1}{2}$+sinx=0，解得x=$\frac{7π}{6}$，$\frac{11π}{6}$．
令f′（x）＞0，解得$0≤x＜\frac{7π}{6}$，或$\frac{11π}{6}$＜x≤2π，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得$\frac{7π}{6}$＜x＜$\frac{11π}{6}$，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∵f（0）=-1，$f（\frac{7π}{6}）$=$\frac{7π}{12}$-$cos\frac{7π}{6}$=$\frac{7π}{12}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$f（\frac{11π}{6}）$=$\frac{11π}{12}$-$cos\frac{11π}{6}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（2π）=π-1．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2π]上的值域為$[-1，\frac{7π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故答案為：$[-1，\frac{7π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}]$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、三角函數(shù)的求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．