Question

8．設(shè)a∈R，函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（2a+1）{x^2}+bx+d$的圖象如圖．
（1）已知f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且$g（x）=\frac{f'（x）}{x}（x≠0）$為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到b=a（a+1），根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值和極小值，求出a的值，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）由題圖知d=0，又f'（x）=x²-（2a+1）x+b，（2分）
而方程x²-（2a+1）x+b=0的兩個(gè)根分別為a，a+1，故b=a（a+1），（3分）
又$g（x）=\frac{f'（x）}{x}=x+\frac{{{a^2}+a}}{x}-（2a+1），\;\;x≠0$，
∵$g（x）=\frac{f'（x）}{x}（x≠0）$為奇函數(shù)，
∴?x≠0，g（-x）+g（x）=0，即2a+1=0，
∴$a=-\frac{1}{2}$，∴$b=-\frac{1}{4}$．（6分）
（2）f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
列表如下：

x	（-∞，a）	a	（a，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

（9分）
∴f（x）在x=a+1處取得極小值，在x=a處取得極大值，
由題設(shè)a+1=2，∴a=1，（11分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，是一道中檔題．