Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的極值點(diǎn)為-1和1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)f'（-1）=0，f'（1）=0，得到關(guān)于a，b的方程組，解得即可；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性和極值的關(guān)系即可求出．

解答 解：（I）f'（x）=3x²+2ax+b，
由已知得f'（-1）=0，f'（1）=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{3-2a+b=0}\\{3+2a+b=0}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-3}\end{array}}\right.$．
經(jīng)檢驗(yàn)a=0，b=-3符合題意，∴f（x）=x³-3x． 
（II）由（I）得f'（x）=3x²-3
由f'（x）＞0，得 x＞1或x＜-1，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為  （-1，1），
∴極大值為f（-1）=2，
極小值為f（1）=-2．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算化簡能力、推理論證能力和方程思想以及化歸思想，屬于中檔題．