【題目】已知☉O:x2+y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由☉O外一點(diǎn)P(a,b)向☉O引切線PQ,切點(diǎn)為Q,且滿足|PQ|=|PA|.
(1)求實(shí)數(shù)a,b間滿足的等量關(guān)系.
(2)求線段PQ長的最小值.
(3)若以P為圓心所作的☉P與☉O有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時(shí)☉P的方程.
【答案】(1) 2a+b-3= (2) (3) (x-)2+(y-)2=(-1)2
【解析】(1)連接OP,
∵Q為切點(diǎn),
∴PQ⊥OQ,
由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.
又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|2=|PA|2.
即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2.
化簡得實(shí)數(shù)a,b間滿足的等量關(guān)系為:2a+b-3=0.
(2)方法一:由2a+b-3=0,得b=-2a+3.
|PQ|==
==.
故當(dāng)a=時(shí),|PQ|min=.即線段PQ長的最小值為.
方法二:由(1)知,點(diǎn)P在直線l:2x+y-3=0上.
∴|PQ|min=|PA|min,即求點(diǎn)A到直線l的距離.
∴|PQ|min==.
(3)設(shè)☉P的半徑為R,
∵☉P與☉O有公共點(diǎn),☉O的半徑為1,
∴|R-1|≤|OP|≤R+1.
即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1.
而|OP|==
=,
故當(dāng)a=時(shí),|OP|min=.
此時(shí),b=-2a+3=,Rmin=-1.
得半徑取最小值時(shí)☉P的方程為(x-)2+(y-)2=(-1)2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù);
(1)若函數(shù)在上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最值;
(3)當(dāng)時(shí),對(duì)大于1的任意正整數(shù),試比較與的大小關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)f(x)中,滿足“任意x1 , x2∈(0,+∞),且x1≠x2 , 都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0”的是( )
A.f(x)= ﹣x
B.f(x)=x3
C.f(x)=ln x
D.f(x)=2x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從高一年級(jí)隨機(jī)抽取了名學(xué)生第一學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)期綜合成績和物理學(xué)期綜合成績.
列表如下:
學(xué)生序號(hào) | ||||||||||
數(shù)學(xué)學(xué)期綜合成績 | ||||||||||
物理學(xué)期綜合成績 | ||||||||||
學(xué)生序號(hào) | ||||||||||
數(shù)學(xué)學(xué)期綜合成績 | ||||||||||
物理學(xué)期綜合成績 |
規(guī)定:綜合成績不低于分者為優(yōu)秀,低于分為不優(yōu)秀.
對(duì)優(yōu)秀賦分,對(duì)不優(yōu)秀賦分,從名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生,若用表示這名學(xué)生兩科賦分的和,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
根據(jù)這次抽查數(shù)據(jù),列出列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為物理成績與數(shù)學(xué)成績有關(guān)?
附: ,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a>0且滿足不等式22a+1>25a﹣2 .
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)求不等式loga(3x+1)<loga(7﹣5x).
(3)若函數(shù)y=loga(2x﹣1)在區(qū)間[1,3]有最小值為﹣2,求實(shí)數(shù)a值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講.
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù),實(shí)數(shù)),曲線
(為參數(shù),實(shí)數(shù)). 在以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與交于兩點(diǎn),與交于兩點(diǎn). 當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
(1)求的值; (2)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)單調(diào)遞減,則滿足 的實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )
A.( , )
B.[ , )
C.( , )
D.[ , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)試討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù),并且滿足下面三個(gè)條件:①對(duì)任意正數(shù),都有;②當(dāng)時(shí), ;③.
(1)求, 的值;
(2)證明在上是減函數(shù);
(3)如果不等式成立,求的取值范圍.
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