Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-e^-x．（1）判斷函數(shù)y=f（x）奇偶性；
（2）討論f（x）的單調(diào)性并求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，3]的最大值和最小值（結(jié)果用分式表示）
（3）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）≥2．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性的定義，判斷證明即可．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可．
（3）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)的最小值即可證明結(jié)果．

解答 解：（1）∵$f（x）={e^x}-{e^{-x}}={e^x}-\frac{1}{e^x}$，e^x＞0，
函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 　（2分）
又∵f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x）
∴函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)．（4分）
（2）f（x）的導(dǎo)數(shù)$f'（x）=（{e^x}-\frac{1}{e^x}）'={e^x}+{e^{-x}}$＞0恒成立．所以函數(shù)y=f（x）定義域上 為單調(diào)增函數(shù)（也可用定義證明）　　　　　�。� 8分）
所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，3]上也單調(diào)遞增；函數(shù)y=f（x）在x=3處取得最大值，且最大值為$f（3）={e^3}-{e^{-3}}=\frac{{{e^6}-1}}{e^3}$
在x=2處取得最小值，且最小值為$f（2）={e^2}-{e^{-2}}=\frac{{{e^4}-1}}{e^2}$（ 12分）
（3）由于f（x）的導(dǎo)數(shù)$f'（x）=（{e^x}-\frac{1}{e^x}）'={e^x}+{e^{-x}}$$≥2\sqrt{{e^x}•{e^{-x}}}=2$，故f′（x）≥2．
（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）．　　　　　　　　　　　　　　 （16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．