Question

17．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式； 
（2）解不等式f（x）≤1．

Answer 1

分析 （1）先由圖象可得A，然后利用圖象求得函數(shù)的周期，由周期公式求得ω，最后根據(jù)點（$\frac{7π}{12}$，-$\sqrt{2}$）在函數(shù)圖象上，且-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，求得φ，即可得解．
（2）由題意解$sin（2x+\frac{π}{3}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得$-\frac{5π}{4}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$，進一步化簡即可得解．

解答 解：（1）∵由圖可知$A=\sqrt{2}$，$T=4（\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}）=π$，
∴$ω=\frac{2π}{π}=2$，
∴可得：$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+φ）$，
∵將點$（{\frac{7π}{12}，-\sqrt{2}}）$代入得，$f（\frac{7π}{12}）=\sqrt{2}sin（2×\frac{7π}{12}+φ）=-\sqrt{2}$，
∴$\frac{7π}{6}+φ=\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，
又$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{3}$．
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{3}）$…（6分）
（2）由f（x）≤1得$sin（2x+\frac{π}{3}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$-\frac{5π}{4}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$，
∴$-\frac{19π}{12}+2kπ≤2x≤-\frac{π}{12}+2kπ，k∈Z$，
可得：$-\frac{19π}{24}+kπ≤x≤-\frac{π}{24}+kπ，k∈Z$，
不等式f（x）≤1的解集為$\{x|-\frac{19π}{24}+kπ≤x≤-\frac{π}{24}+kπ，k∈Z\}$．…（12分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了學生基礎知識的運用和圖象觀察能力，屬于基本知識的考查．