Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（Ⅰ）求證：直線DA⊥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD⊥AB，AD∥BC，由BC⊥PB得出AD⊥BP，故AD⊥平面PAB；
（II）將△PAB當(dāng)作棱錐的底面，則棱錐的高為BC，代入體積公式計算．

解答 （I）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC．
∵∠PBC=90°，∴BC⊥PB，
∴AD⊥PB，又AB?平面APB，BP?平面ABP，AB∩BP=B，
∴DA⊥平面PAB．
（II）解：∵AD∥BC，AD⊥平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，BC=AD=1．
∵S_△PAB=$\frac{1}{2}PA•AB•sin∠PAB$=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱錐B-PAC的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△PAB}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．