Question

5．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，且△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，則b的最小值為4．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知，整理可得：2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，由sinC≠0，解得cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$，利用三角形面積公式可求ac=16，由余弦定理及基本不等式即可解得b的最小值．

解答 解：∵2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，
∴由正弦定理可得：cosB（2sinC-sinA）=sinBcosA，整理可得：2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴解得：cosB=$\frac{1}{2}$，由B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$，
又∵△ABC的面積為4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×ac，解得：ac=16，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=16，（當且僅當a=c=4時成立），
∴解得：b≥4．
故答案為：4．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式，余弦定理及基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．