Question

20．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，3），離心率e=$\frac{4}{5}$．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l：y=kx-3與橢圓交于不同的兩點M，N．若滿足|AM|=|AN|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a=5，b=3，即可得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達(dá)定理，求得線段MN的中點P的坐標(biāo)，再由|AM|=|AN|知點A在線段MN的垂直平分線上，運用直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得到k，進(jìn)而得到直線方程．

解答 解：（1）由一個頂點為A（0，3），離心率e=$\frac{4}{5}$，
可得b=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，a²-b²=c²，
解得a=5，c=4，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）由|AM|=|AN|知點A在線段MN的垂直平分線上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消去y得（9+25k²）x²-150kx=0，
由k≠0，得方程的△=（-150k）²＞0，即方程有兩個不相等的實數(shù)根．
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），線段MN的中點P（x₀，y₀），
則x₁+x₂=$\frac{150k}{9+25{k}^{2}}$，∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{75k}{9+25{k}^{2}}$，
∴y₀=kx₀-3=-$\frac{27}{9+25{k}^{2}}$，即P（$\frac{75k}{9+25{k}^{2}}$，-$\frac{27}{9+25{k}^{2}}$），
∵k≠0，∴直線AP的斜率為k₁=-$\frac{\frac{-27}{9+25{k}^{2}}-3}{\frac{75k}{9+25{k}^{2}}}$=-$\frac{25{k}^{2}+18}{25k}$，
由AP⊥MN，得-$\frac{25{k}^{2}+18}{25k}$=-$\frac{1}{k}$，
∴25k²=7，解得：k=±$\frac{\sqrt{7}}{5}$，
即有直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{7}}{5}$x-3．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的運用和方程的運用．聯(lián)立直線方程，運用韋達(dá)定理，同時考查直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于中檔題．