【題目】(2016·北京卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.
(1)求證:PD⊥平面PAB;
(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1) 見解析,(2),(3)
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AB⊥平面PAD,即得AB⊥PD,再根據(jù)PA⊥PD,由線面垂直判定定理得結(jié)論, (2) 先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點坐標(biāo),根據(jù)方程組解平面PCD法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)由 BM∥平面PCD得向量BM與平面法向量垂直,根據(jù)向量數(shù)量積為零,解得的值.
試題解析: (1)證明 ∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,又AB⊥AD,AB平面ABCD,
∴AB⊥平面PAD.∵PD平面PAD.∴AB⊥PD.
又PA⊥PD,PA∩AB=A,
∴PD⊥平面PAB.
(2)解 取AD中點O,連接CO,PO,∵PA=PD,∴PO⊥AD.
又∵PO平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD.
∵CO平面ABCD,∴PO⊥CO.
∵AC=CD,∴CO⊥AD.
以O為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.易知P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0).
則=(1,1,-1),=(0,-1,-1),=(2,0,-1).
=(-2,-1,0).
設(shè)n=(x0,y0,1)為平面PDC的一個法向量.
由得解得
即n=.
設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ.
則sin θ=|cos〈n,〉|==
=.
(3)解 設(shè)M是棱PA上一點,則存在λ∈[0,1]使得=λ,因此點M(0,1-λ,λ),=(-1,-λ,λ).因為BM平面PCD,所以BM∥平面PCD,
當(dāng)且僅當(dāng)·n=0,即(-1,-λ,λ)·=0,解得λ=,所以在棱PA上存在點M使得BM∥平面PCD,此時=.
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【題目】已知直線:和圓:,給出下列說法:①直線和圓不可能相切;②當(dāng)時,直線平分圓的面積;③若直線截圓所得的弦長最短,則;④對于任意的實數(shù),有且只有兩個的取值,使直線截圓所得的弦長為.其中正確的說法個數(shù)是( )
A.4個B.3個C.2個D.1個
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【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=PA=2,PA⊥平面ABCD,E是PC的中點,F是AB的中點.
(1)求證:BE∥平面PDF;
(2)求證:平面PDF⊥平面PAB;
(3)求BE與平面PAC所成的角.
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【題目】某動物園要為剛?cè)雸@的小動物建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室,地面形狀如圖所示,已知已有兩面墻的夾角為,墻的長度為米,(已有兩面墻的可利用長度足夠大),記.
(1)若,求的周長(結(jié)果精確到0.01米);
(2)為了使小動物能健康成長,要求所建的三角形露天活動室面積,的面積盡可能大,當(dāng)為何值時,該活動室面積最大?并求出最大面積.
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【題目】某校從參加某次知識競賽的同學(xué)中,選取60名同學(xué)將其成績(百分制,均為整數(shù))分成, , , , , 六組后,得到部分頻率分布直方圖(如圖),觀察圖形中的信息,回答下列問題:
(1)求分?jǐn)?shù)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖;
(2)從頻率分布直方圖中,估計本次考試成績的中位數(shù);
(3)若從第1組和第6組兩組學(xué)生中,隨機(jī)抽取2人,求所抽取2人成績之差的絕對值大于10的概率.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若在處取得極值,求實數(shù)的值.
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(3)若在上沒有零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】寒冷的冬天,某高中一組學(xué)生來到一大棚蔬菜基地,研究種子發(fā)芽與溫度控制技術(shù)的關(guān)系,他們分別記錄五組平均溫度及種子的發(fā)芽數(shù),得到如下數(shù)據(jù):
平均溫度() | 11 | 10 | 13 | 9 | 12 |
發(fā)芽數(shù)(顆) | 25 | 23 | 30 | 16 | 26 |
(Ⅰ)若從五組數(shù)據(jù)中選取兩組數(shù)據(jù),求這兩組數(shù)據(jù)平均溫度相差不超過概率;
(Ⅱ)求關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的誤差不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(Ⅱ)屮所得的線性回歸方程是否可靠?
(注: , )
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【題目】已知橢圓的中心在原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,橢圓與直線相切于點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線: 與橢圓相交于、兩點(, 不是長軸端點),且以為直徑的圓過橢圓在軸正半軸上的頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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【題目】某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費者,工藝品的平面設(shè)計如圖所示,該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成,點為半圈上一點(異于,),點在線段上,且滿足.已知,,設(shè).
(1)為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果,需滿足,且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時,工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果;
(2)為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏,需滿足,且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時,取得最大值,并求該最大值.
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